Rozmaitość riemannowska (przestrzeń Riemanna) – rzeczywista rozmaitość różniczkowa wymiaru , wyposażona w metrykę riemannowską, tj. gładkie pole dodatnio określonych symetrycznych form dwuliniowych które dla każdego punktu wyznaczają iloczyn skalarny na przestrzeni stycznej .
(1) Jeżeli wprowadzi się w rozmaitości układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne to długość infinitezymalnego wektora łączącego dany punkt z infinitezymalnie blisko położonym innym punktem rozmaitości zadana jest wzorem
gdzie współczynniki stanowią współrzędne tensora metrycznego obliczonego w punkcie rozmaitości. Przy tym żąda się, by tensor metryczny był dodatnio określony w całej przestrzeni – oznacza to, że infinitezymalne przemieszczenie musi być liczbą dodatnią w każdym miejscu rozmaitości – analogicznie jak w przestrzeni euklidesowej.
Warunek dodatniej określoności oznacza matematycznie, że wszystkie minory główne liczone wzdłuż przekątnej macierzy tensora powinny być dodatnie, począwszy od wyznacznika tensora, tj.