np. dla każdego
(2) Tensor metryczny pozwala obliczać długości krzywych w rozmaitości (patrz niżej).
(3) Metrykę (odległość) pomiędzy dowolnymi punktami spójnej rozmaitości Riemannowskiej definiuje się jako infimum długości krzywych łączących te punkty.
Krzywa ta jest linią geodezyjną, gdy jednak punkty są infinitezymalnie odległe, tj. to geodezyjna redukuje się do odcinka prostej euklidesowej – metryka jest wtedy równa długości elementu liniowego
Rozmaitość riemannowska jest więc przestrzenią metryczną, z metryką zdefiniowaną w oparciu o różniczkowe elementy liniowe których współczynniki są elementami tensora metrycznego.
(4) Tensor metryczny pozwala obliczać inne wielkości geometryczne na rozmaitości: krzywizny, pola powierzchni, objętości (krzywych, powierzchni, przestrzeni), kąty, gradienty czy dywergencje funkcji, rotacje pól wektorowych, a także zapisywać równania obiektów geometrycznych, np. krzywych, powierzchni itp. zawartych w rozmaitości. W ten sposób definiuje się geometrię na rozmaitości.
Nazwa rozmaitości pochodzi od Bernharda Riemanna.
Uwaga: