Wówczas dowolny wektor z jest kombinacją liniową wektorów
Aby się o tym przekonać, należy wziąć dowolny wektor z wtedy:
Funkcje
Niech będzie przestrzenią rzeczywistych funkcji ciągłych o wartościach zespolonych
Rozważmy wektory (funkcje) określone wzorami
gdzie jest podstawą logarytmu naturalnego, a to jednostka urojona.
Niektóre z kombinacji liniowych oraz mają postać:
Z drugiej strony funkcja stała równa nie jest kombinacją liniową i
Rzeczywiście, gdyby była, to dla pewnych skalarów zespolonych byłoby:
dla wszystkich liczb rzeczywistych Ale podstawienia i dają równania oraz co prowadzi do sprzeczności.
Wielomiany
Niech będzie dowolnym ciałem, a będzie zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach z tego ciała. Rozważmy wektory (wielomiany):
Przypuśćmy, że wielomian jest kombinacją liniową tzn.:
W celu znalezienia wartości współczynników wymnożyć wielomiany przez te współczynniki i zgrupować wg potęg
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie w nich współczynniki są sobie równe, a więc
Jedynym rozwiązaniem tego układu równań liniowych jest trójka
Stąd jest to jedyny możliwy sposób uzyskania kombinacji liniowej za pomocą tych współczynników.
Z kolei przypuszczenie, że wielomian jest kombinacją liniową prowadzi do równości: