za pomocą eliminacji Gaussa), uzyskuje się

gdzie może być dowolną liczbą: biorąc, na przykład, dostaje się niezerowe rozwiązanie, co wykazuje liniową zależność wyjściowego zbioru wektorów.

Przykład V W przestrzeni liniowej wszystkich wielomianów zmiennej nad ciałem liczb rzeczywistych zbiór wektorów

jest liniowo niezależny.

Dowód Zgodnie z definicją, wystarczy wykazać, że dla dowolnego skończonego podukładu kombinacja

zeruje się tylko wtedy, gdy

Rzeczywiście, równość

oznacza równość wielomianów, tzn. równość odpowiednich współczynników.

Metoda wyznacznikowa badania liniowej niezależności W przestrzeniach skończenie wymiarowych do badania, czy układy wektorów są liniowo zależne, czy niezależne, można wykorzystać pojęcie wyznacznika i rzędu macierzy.

Ponieważ wyznacznik macierzy n×n jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy układ kolumn jest liniowo zależny, więc w przestrzeni n-wymiarowej układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy, której kolumnami są współczynniki tych wektorów w dowolnej bazie, jest zerowy.

Np. dla wektorów i z odpowiednia macierz ma postać

Ponieważ

więc wektory te są liniowo niezależne