Tutaj a,b,c są długościami odcinków sferycznych, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Dowód pierwszego wzoru znajduje się w następnej sekcji (przeprowadzony jest w jednym z możliwych modeli tej geometrii).
Analogicznie w geometrii hiperbolicznej, przyjąwszy tzw. metrykę naturalną, dostajemy:
Tutaj a, b, c są długościami odcinków, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka, to zamiast sin używamy sinh.
Spostrzeżenie, że umożliwia bardziej spójne spojrzenie na temat. Otóż, jeśli K oznacza krzywiznę Gaussa powierzchni oraz to otrzymamy następujący wzór:
Dla K>0 mamy trygonometrię na sferze o promieniu Dla K<0 mamy trygonometrię na pseudosferze o promieniu równym Ponieważ jest tutaj urojony więc można też ten przypadek traktować jak sferę o promieniu urojonym Niekiedy sugestywnie ujmuje się to następująco: trygonometria hiperboliczna jest trygonometrią sferyczną na sferze o promieniu urojonym.
Twierdzenie sinusów dla trójkątów sferycznych thumb|200px|rys.1 Jeśli a,b,c oznaczają długości odcinków sferycznych, α β, γ są kątami umieszczonymi naprzeciw boków odpowiednio a,b,c to zachodzi wzór
Dowód Nazwijmy wektorem centralnym taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej.