Dowód wzoru W pierwszej kolejności, pokażemy dowód wzoru de Moivre’a, dla wszystkich wartości , będących w postaci liczb naturalnych. Dopiero kiedy dowiedziemy właśnie tego, uzupełnimy w odpowiedni sposób posiadany wtedy dowód wzoru de Moivre’a, do jego dowodu dla wszystkich liczb całkowitych; poprzez pokazanie, że także wszystkie całkowite liczby ujemne, spełniają rzeczony wzór – to łącznie, dowiedzie całości.
Zauważmy, że wzór jest oczywisty, dla przypadków: oraz .
Niech wzór jest prawdziwy dla tzn.
Wówczas dla dostaniemy
Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej, wzór zachodzi dla każdego naturalnego .
Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych, mamy:
Obie części powyższego rozumowania, w sposób łączny, kończą cały dowód wzoru de Moivre’a (tzn. dla wszystkich całkowitych wartości liczby ). ∎
Uwagi Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1 Liczba ma w dziedzinie liczb zespolonych, dokładnie pierwiastków stopnia -tego. Są nimi liczby następującej postaci, tutaj oznaczone wszystkie wspólnie, za pomocą oznaczenia: (różne wartości , takie jak te poniżej napisane, brane do tego napisu, odtwarzają różne wspomniane pierwiastki):