Przestrzeń ilorazowa – przestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.
Definicja formalna
Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem zaś podprzestrzenią Zdefiniujmy na relację równoważności taką, że czyli jest w relacji z wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z Klasa równoważności tzn. zbiór
jest często oznaczana przez
ponieważ jest równa
Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni wyznaczonymi przez wektor
Przestrzeń ilorazowa jest wówczas zdefiniowana jako czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad Iloczyn skalara przez wektor oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane jako dla każdego
Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają w przestrzeń liniową nad
Przykład Rozpatrzmy przestrzeń wektorową Niech i niech oznacza podprzestrzeń rozpinaną przez pierwsze wektorów bazy kanonicznej Do należą ciągi z które są równe 0 na ostatnich współrzędnych. Zdefiniujmy relację równoważności jako
Wynika z tego, że dwa wektory z są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich współrzędnych.