Następnie, przez indukcję ze względu na można wybrać takie punkty że:
Wybór jest możliwy, ponieważ na kroku wiadomo, że zbiór jest nieprzeliczalny, a więc (jako zbiór borelowski) także mocy continuum, natomiast zbiór jest mocy mniejszej niż continuum.
Po zakończeniu powyższego procesu, skonstruowane zbiory i
są rozłączne oraz każdy z nich jest zbiorem Bernsteina.
Wzmocnienie Powyższą konstrukcję można wzmocnić: dla dowolnej nieprzeliczalnej przestrzeni polskiej istnieje jej rozbicie na continuum wiele zbiorów Bernsteina.
Dowód. Istnieje taka funkcja
że
dla każdego zbioru doskonałego (w literaturze funkcje takie noszą nazwę perfectly everywhere surjective functions). Istotnie, niech
będzie ustawieniem w ciąg pozaskończony wszystkich par gdzie jest zbiorem doskonałym a punktem prostej. Funkcję można zdefiniować rekursywnie:
W kroku zerowym, ze zbioru można wybrać dowolny punkt i zdefiniować W kroku ze zbioru
wybiera się punkt i definiuje Dla punktów definiuje się
Dla każdego zbioru doskonałego i punktu istnieje taka liczba że Zatem na mocy konstrukcji Rozważmy teraz rodzinę zbiorów
Składa się ona ze zbiorów parami rozłącznych i takich, że mają one punkty wspólne z każdym zbiorem doskonałym.