Zatem jest to rodzina składająca się z wielu zbiorów Bernsteina.
Liczba zbiorów Bernsteina na prostej Istnieje parami różnych zbiorów Bernsteina na prostej. Istotnie, niech
będzie rodziną parami rozłącznych zbiorów Bernsteina na prostej (liczba kardynalna jest, w szczególności, liczbą porządkową). Niech będzie takim niepustym zbiorem, że jest niepusty. Niech ponadto
Wówczas jest zbiorem Bernsteina. Istotnie, niech i niech będzie zbiorem doskonałym. Wówczas
Stąd
co dowodzi, że jest zbiorem Bernsteina, oraz każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez niepusty podzbiór o niepustym dopełnieniu. Takich zbiorów jest jednak
Zobacz też miara Lebesgue’a własność Baire’a zbiór Vitalego
Przypisy
Bibliografia A.B. Kharazishvili, Nonmeasurable sets and functions. North-Holland Mathematics. Studies, 195. Elsevier Science B.V., Amsterdam 2004, s. 17–26
Kategoria:Teoria miary Kategoria:Topologiczne własności zbiorów