Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda-Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innych wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego.
Twierdzenie Załóżmy, że jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja jest ciągła na zbiorze i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. Tak więc, dla pewnej stałej mamy, że
ilekroć
Niech Wówczas dla pewnego zagadnienie początkowe
ma dokładnie jedno rozwiązanie określone na przedziale
Uogólnienie na przestrzenie Banacha Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.
Lokalny warunek Lipschitza Niech będzie przestrzenią unormowaną oraz będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt ma otoczenie, na którym spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.