Twierdzenie Picarda Niech będzie przestrzenią Banacha oraz będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze to każde rozwiązanie równania daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego, każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym, dla każdego punktu istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy
Globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań Korzystając z twierdzenia Picarda można dowieść globalnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych, znane również jako twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconego. Poza faktem istnienia oraz jedyności rozwiązania opisuje ono również jego zachowanie.
Twierdzenie Niech będzie odcinkiem otwartym, zaś będą zbiorami otwartymi. Niech będzie ciągłą funkcją spełniającą lokalny jednostajny warunek Lipschitza ze względu na drugą współrzędną, tj.