Liczba podziałów na trójkąty Liczba wyraża liczbę sposobów podziału wielokąta wypukłego, mającego krawędzie, na różne trójkąty przy pomocy nieprzecinających się wewnątrz wielokąta przekątnych (zob. triangulacja).
Dowód wzoru jawnego Dowód wzoru można otrzymać na wiele sposobów i zależnie od różnych interpretacji liczb Catalana. Przyjmując, że rozpatrujemy przypadek liczby dróg z punktu do i przy założeniu otrzymamy: – bowiem do punktu prowadzi jedna tylko droga, – ponieważ do punktu prowadzi jedna droga zaś z tego punktu do można przejść zgodnie z założonymi możliwościami wyboru kolejnego odcinka składowego na jeden sposób.
Rozważmy teraz pewne przesunięcie układu współrzędnych tak, by punkt stał się środkiem nowego układu współrzędnych – wówczas do punktu prowadzi tyle samo dróg, co z punktu do zaś z wykonując ruch zgodnie z założeniami można przejść na jeden sposób do punktu
Postępując dalej analogicznie, otrzymamy:
Aby otrzymać wzór jawny, którym określony jest ciąg, można użyć techniki funkcji tworzących ciągu.
Niech będzie funkcją tworzącą tego ciągu. Wówczas:
co wynika z definicji operacji mnożenia funkcji tworzących.