Mamy więc

Rozwiązując to równanie, po przyjęciu za szukaną zmienną otrzymujemy:

Ponieważ

to rozpatrujemy jedynie pierwiastek

Korzystając z uogólnionego na liczby rzeczywiste symbolu Newtona oraz jego własności okazuje się, że

Po zmianie granic sumowania otrzymujemy

Z własności funkcji tworzących wiemy, że -ty wyraz ciągu jest równy współczynnikowi przy -tej potędze czyli;

Historia Liczby te zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Leonarda Eulera w XVIII wieku, który badał liczbę podziałów wielokątów na trójkąty. Zostały nazwane na cześć Eugène Charlesa Catalana, który rozważał je jako liczbę sposobów rozmieszczeń nawiasów.

Przypisy

Linki zewnętrzne

(pol.) Liczby Catalana w skrypcie z matematyki dyskretnej

(ang.) Stanley, R.P – dodatek do książki Enumerative Combinatorics, poświęcony liczbom Catalana

Kategoria:Kombinatoryka C