Wówczas sedno rozszerzonych dowodów indukcyjnych (czyli dowodów przez indukcję pozaskończoną) leży w podaniu uzasadnienia, że dla każdej liczby porządkowej jeśli do kroku (wyłącznie) wszystko było dobrze, to stąd można wywnioskować, że na kroku też wszystko jest dobrze. Twierdzenia Niech ON oznacza klasę liczb porządkowych. Poniższe twierdzenia można udowodnić w ZF (bez użycia aksjomatu wyboru).
Twierdzenie o dowodzeniu przez indukcję Przypuśćmy, że jest formułą języka teorii mnogości z jedną zmienną wolną Załóżmy również, że:
Wówczas jest prawdą, że dla każdej liczby porządkowej
Powyższe twierdzenie formułuje się też w następujący sposób: każda niepusta klasa liczb porządkowych ma element najmniejszy.
Dowód: Przypuśćmy, że istnieje taka liczba porządkowa że Wówczas zbiór jest niepusty. Wiadomo, że każdy niepusty zbiór liczb porządkowych jest dobrze uporządkowany przez inkluzję, więc niech Z określenia wynika, że dla każdego mamy skąd wobec otrzymujemy Na mocy założenia wnioskujemy, że zachodzi również a zatem Uzyskana sprzeczność kończy dowód.