Przedstawione wyżej własności opisują iloczyn wektorowy jako nieparzyste (antysymetryczne) przekształcenie dwuliniowe, które jako działanie nie jest ani łączne, ani przemienne. Przestrzeń liniowa wyposażona w iloczyn wektorowy tworzy więc nieprzemienną, niełączną algebrę nad ciałem, która jest algebrą Liego rzeczywistej grupy ortogonalnej w trzech wymiarach, SO(3), z iloczynem wektorowym pełniącym rolę nawiasu Liego – pominięcie struktury afinicznej oznacza wybór podalgebry w której zachowywany jest początek (brak przesunięć), z kolei ustalenie orientacji (brak odbić) oznacza dalsze zawężenie do podalgebry związanych odpowiednio z podgrupami grupy izometrii oraz Ograniczenie to jest równoważne z wymaganiem, by endomorfizmy tej przestrzeni zachowywały iloczyn skalarny.
Dla danego elementu algebry Liego działanie dołączone elementu na definiuje się jako endomorfizm (liniowy) dany wzorem
dla dowolnego z przestrzeni Endomorfizmy przestrzeni można utożsamiać z macierzami stopnia 3, przy czym zawężenie działania do odpowiada zawężeniu klasy macierzy do macierzy antysymetrycznych.