(Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.) Zbiór podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny. mały|250px|Zbiory i zaznaczone na grafie Cayleya grupy wolnej mały|250px|Animacja dowodu twierdzenia Banacha-Tarskiego za pomocą grafu Cayleya opartego na fraktalu Rozważmy grupę wolną o dwóch generatorach i działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi odpowiada bijekcja ) Dla niech będzie zbiorem wszystkich elementów grupy (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od Zauważmy, że i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz i Zatem jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy
Twierdzenia W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn.