są to twierdzenia ZFC). Przypuśćmy, że (a) grupa działa na zbiorze w taki sposób że żadne z odwzorowań nie ma punktów stałych (dla ), (b) jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy (przez mnożenie z lewej strony). Wówczas zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna działa na zbiorze w taki sposób, że żadne z odwzorowań nie ma punktów stałych (dla ), to zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy Istnieje przeliczalny podzbiór sfery jednostkowej taki, że zbiór jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów Jeśli jest przeliczalny, to zbiory i kawałkami -równoważne.
Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego: Sfera jednostkowa jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów
Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia.