Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa.
Definicja Niech Niech będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru określamy miarę zewnętrzną
gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów które pokrywają i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej
Gdy maleje, to rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą HausdorffaF. Hausdorff, „Mathematische Annalen”, 79 (1918), s. 157–179. (dla wykładnika ):
Łatwo sprawdzić, że: dla każdego dla każdego
Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako
Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze nie mniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)Edward Szpilrajn, La dimension et la meure, Fund. Math., 28 (1937), 81–89. udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.
Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)Об одном метрическом свойстве размерности, Annals of Mathematics 33 (1932), 156–162.