Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa.
Definicja Niech Niech będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru określamy miarę zewnętrzną
gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów które pokrywają i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej
Gdy maleje, to rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą HausdorffaF. Hausdorff, „Mathematische Annalen”, 79 (1918), s. 157–179. (dla wykładnika ):
Łatwo sprawdzić, że: dla każdego dla każdego
Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako
Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze nie mniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)Edward Szpilrajn, La dimension et la meure, Fund. Math., 28 (1937), 81–89. udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.
Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)Об одном метрическом свойстве размерности, Annals of Mathematics 33 (1932), 156–162. wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez
Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witolda Hurewicza i Henry’ego WallmanaWitold Hurewicz, Henry Wallman, Dimension Theory, 1941.; patrz też rosyjskie tłumaczenieWitold Hurewicz i Henry Wallman, Теория Размерности, И*Л, 1948, Μοсква., gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.
Praktyczna metoda wyznaczania
Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, obliczanie wymiaru fraktalnego może okazać się trudneD. Saupe, H. Jürgens, H.-O. Peitgen, Fraktale – granice chaosu, PWN, Warszawa 1995, t. I, s. 273–295.. Jednak dla pewnej klasy obiektów fraktalnych można korzystać z następującego twierdzeniaJacek Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 2007, wydanie czwarte, s. 58–61.Gerald Egdar, Measure, topology and fractal geometry, Springer-Verlag, 1990.:
Niech będzie atraktorem układu iterowanych odwzorowań będących zwężającymi podobieństwami o skalach podobieństwa Ponadto załóżmy, że obrazy atraktora są rozłączne, to znaczy, że dla każdego zachodzi Wtedy wymiar Hausdorffa jest równy liczbie będącej rozwiązaniem równania:
Powyższe równanie jest konsekwencją następującego zapisu oraz własnościami miary
Przykład: dywan Sierpińskiego:
Dywan Sierpińskiego jest atraktorem układu IFS ośmiu podobieństw o skalach podobieństwa Wtedy rozwiązaniem równania
jest
Dla kostki Mengera będzie to więc dla piramidy Sierpińskiego a dla zbioru Cantora
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2026-01-14].
Kategoria:Teoria wymiaru Kategoria:Teoria miary