Przykładem przestrzeni metrycznej, która nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności może być przestrzeń wszystkich ograniczonych ciągów liczbowych z metryką supremum (rodzina wszystkich kul otwartych o środkach w punktach będących ciągami zero-jedynkowymi i promieniu mniejszym niż ¼ jest nieprzeliczalna i składa się ze parami rozłącznych zbiorów otwartych – dowolna baza musi zawierać podzbiór każdego elementu tej rodziny, przez co nie może być przeliczalna).
Ogólniej, dla dowolnej przestrzeni metrycznej następujące własności są równoważne: ośrodkowość, własność Lindelöfa, spełnianie drugiego aksjomatu przeliczalności.
Dowolna przestrzeń topologiczna spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest ośrodkowa. W szczególności zbiór liczb rzeczywistych ze standardową topologią euklidesową spełnia drugi aksjomat przeliczalności – przykładem przeliczalnej bazy może być rodzina ograniczonych przedziałów otwartych o wymiernych końcach.
Istnieją przeliczalne przestrzenie całkowicie regularne, które nie spełniają nawet pierwszego aksjomatu przeliczalności – przykładem może być przestrzeń Apperta.
Bibliografia
Kategoria:Aksjomaty matematyczne Kategoria:Własności przestrzeni topologicznych