gdzie skorzystaliśmy z tego, że: jeżeli szeregi oraz są zbieżne, to zbieżny jest również szereg oraz: (addytywność); jeżeli szereg jest zbieżny, to również szereg jest zbieżny, oraz gdzie c jest stałą (jednorodność).
Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia daje oryginalną tożsamość opisaną przez Eulera.
Inne uzasadnienie formuły Niech będzie dana przez Wówczas
Następnie niech Wtedy
dla każdego a stąd jest funkcją stałą. Ponieważ
mamy dla wszystkich Stąd też czyli
Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.
Trygonometria Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii, dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić, budując odpowiedni układ równań:
Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:
Po dodaniu stronami:
Analogicznie otrzymuje się wzór:
Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie daje: