Narzędziem tym jest zwykle diament Lavera związany z liczbą super-zwartą. Twierdzenie [Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba super-zwarta” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+PFA” jest niesprzeczna.
Aksjomat BPFA wymaga znacznie słabszych założeń: Twierdzenie [Goldstern-Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba Mahlo” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+BPFA” jest niesprzeczna.
(W tym ostatnim twierdzeniu trochę mniej niż istnienie liczby Mahlo jest wymagane; co więcej Goldstern i Szelach podali dokładną siłę niesprzeczności BPFA.)
Przykłady forsingów proper Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie pojęcia forsingu ccc, są proper. Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu), są proper. Pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach są proper przy naturalnych warunkachRosłanowski, Andrzej;