Niech będą wartościami własnymi macierzy Ponieważ można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

Operatory śladowe Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.

Niech będzie przestrzenią Hilberta, jej bazą ortonormalną oraz niech

gdzie oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni tj. takich operatorów liniowych i ciągłych że

Funkcja dana wzorem

nazywana jest śladem.

Operatory należące do nazywane operatorami śladowymi.

Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni W przypadku, gdy jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.

Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha, na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni na algebrach von Neumanna.

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Obiekty określone dla macierzy kwadratowych Kategoria:Endomorfizmy liniowe