oraz są równe, gdy
oraz (istotne tylko dla )
Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:
Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:
Powyższy wzór ma wiele przypadkówW wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcus tangens, często nazywany arctan2 lub atan2, który przetwarza je wewnętrznie., lecz istnieje wzór korzystający z funkcji arcus cosinus, który wymaga mniejszej ich liczby:
Mnożenie Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech
Wówczas iloczyn
Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne, otrzymujemy ostatecznie
co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.
Mnożenie przez można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt
Wzór de Moivre’a
mały|Abraham de Moivre (1667–1754)
Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia dla danego wykładnika przy warunku Mimo że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.
Rozpatrzmy Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór
Pierwiastkowanie