Wartości i wektory własne (1) Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1.
(2) Wektory własne macierzy Pauliego (znormalizowane do 1):
– dla macierzy
– dla macierzy
– dla macierzy
Wektor macierzy Pauliego. Iloczyn skalarny (1) Wektor macierzy Pauliego zdefiniowany jest następująco:
gdzie – wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich.
(2) Niech dany będzie wektor taki że
Wtedy iloczyn skalarny wektora macierzy Pauliego przez wektor ma postać:
(3) Tw. Dowolny wektor komutuje z wektorem macierzy Pauliego, gdyż mnożenie macierzy przez liczbę zawsze jest przemienne, np.
Twierdzenia
oraz
gdzie:
– wektor jednostkowy skierowany w dowolnym kierunku. Dowód (#1)
Dowód (#2)Najpierw zauważmy równość
(Może być udowodniona dla n=1 z użyciem relacji antykomutacji).
Dla pozostałych:
Połączenie tych dwóch faktów z wiedzą o relacjach eksponencjalnych z sin i cos:
Kiedy podstawimy
otrzymamy
Suma cosinusów po lewej stronie i suma sinusów po prawej, więc ostatecznie,