w przeciwnym przypadku dla ogólnej przestrzeni liniowej jest ograniczenie przestrzeni sprzężonej do ciągłych funkcjonałów liniowych sprawia jednak, że na podstawie izomorfizmu skonstruowanego niżej.
Istnienie Dla wystarczy wziąć i wtedy dla każdego niech więc wtedy jest właściwą podprzestrzenią Ponieważ jest ciągły, to zbiór jest domkniętyZ definicji ciągłości (przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte; zatem z dualności analogiczne stwierdzenie dotyczy zbiorów domkniętych) wynika, że jest domknięty jako przeciwobraz zbioru jednoelementowego (przestrzenie Hilberta są Hausdorffa, które są przestrzeniami ).Stwierdzenie to można również dowieść, korzystając z ogólniejszego twierdzenia dla przestrzeni unitarnych i ograniczonych operatorów liniowych (w przestrzeniach Hilberta, które są unitarne, ciągłe operatory liniowe są równoważne ograniczonym). Twierdzenie: Niech będą przestrzeniami unitarnymi, będzie ograniczonym operatorem liniowym, zaś oznacza ciąg elementów Wówczas pociąga a jądro jest zbiorem domkniętym. Dowód: Pierwsza część twierdzenia wynika z oszacowania Jeżeli to (z charakteryzacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych) można wybrać ciąg elementów zbieżny do skoro i ponieważ dla wszystkich to również co oznacza .