Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika, że
a skoro to a zatem można znaleźć taki element dla którego Ponieważ to dla każdego zachodzi
gdyż na mocy liniowości funkcjonału dlatego
a stąd
aby teza twierdzenia była spełniona, wystarczy przyjąć gdzie oznacza sprzężenie zespolone skalara
Jednoznaczność Niech będą dwoma elementami, które dla każdego spełniają
wówczas, z liniowości, dla każdego biorąc otrzymuje się co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy czyli
Izometryczność Iloczyn skalarny jest ciągły ze względu na pierwszą zmienną; zatem funkcjonał liniowy dany wzorem jest ciągły, a zatem ograniczony (z charakteryzacji ograniczonych operatorów liniowych). Z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika wtedy, że
a więc
Jeżeli to czyli w przeciwnym przypadku dla otrzymuje się
co daje
Antyliniowość Antyliniowość odwzorowania wynika wprost z własności iloczynu skalarnego, który jest antyliniowy ze względu na drugą współrzędną:
Jeżeli jest rzeczywista, to iloczyn skalarny jest dwuliniowy, a nie półtoraliniowy; w tym przypadku wystarczy w powyższych równościach pominąć sprzężenie zespolone (oznaczane kreską nad elementem).
Zobacz też twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Przypisy
Riesza (przestrzenie Hilberta)