co w przypadku liczby zespolonej nazywa się sprzężeniem zespolonym liczby Ponieważ sprzężenie (jako symetria) nie zmienia modułu liczby zespolonej (odległości), jest więc izometrią – oś rzeczywista jest prostą stałą tego przekształcenia. Za pomocą sprzężenia można zdefiniować również rzut na osie rzeczywistą i urojoną, odpowiednio
oraz
Na płaszczyźnie zespolonej można wprowadzić iloczyn skalarny,
który indukuje normę, którą jest moduł
wyznaczającą metrykę
Ponadto ponieważ
to można traktować jako iloczyn geometryczny wektorów i będący sumą iloczynu wewnętrznego (symetryczny iloczyn skalarny) i zewnętrznego (antysymetryczny iloczyn wektorowy ):
gdzie jednostka urojona pełni rolę pseudoskalara jednostkowego ustalającego dualność Hodge'a między iloczynem zewnętrznym i iloczynem wektorowym.
Geometria syntetyczna thumb|200px|Ilustracja mnożenia dwóch liczb zespolonych
Działanie dodawania, na płaszczyźnie przeprowadzane zwykle metodą równoległoboku – poszczególne elementy odpowiedniego równoległoboku oblicza się zgodnie z twierdzeniem cosinusów (działanie więc na rozwiązywaniu pewnego trójkąta), pozwala na przedstawienie przesunięć i wprowadza pojęcie równoległości.