działaniom dodawania wektorów na sferze i mnożenia ich przez skalar (czyli działania określone w każdej przestrzeni wektorowej) odpowiadają analogiczne działania na odpowiadających im wektorach w przestrzeni przestrzeń styczna nie zależy od wyboru współrzędnych krzywoliniowych i będzie identyczna dla każdej innej mapy.
Zatem wektory styczne do sfery w punkcie tworzą 2-wymiarową przestrzeń styczną – płaszczyznę Pokazaliśmy to nie odwołując się do pojęcia zanurzenia sfery w przestrzeni 3-wymiarowej.
Przestrzeń styczna do n-wymiarowej rozmaitości Rozmaitość w najogólniejszym przypadku jest przestrzenią topologiczna, która ma lokalnie własności przestrzeni euklidesowej. Rozmaitość ma wymiar jeżeli przez każdy punkt rozmaitości przechodzą krzywe, których wektory styczne tworzą n-wymiarowe przestrzenie styczne (przestrzenie euklidesowe).
Definicja formalna przestrzeni stycznej (1) Niech będzie mapą otoczenia punktu rozmaitości różniczkowej klasy wymiaru
Krzywą klasy na rozmaitości przechodzącą przez punkt nazywa się odwzorowanie klasy dowolnego przedziału w tj.
takie że
(2) Na zbiorze wszystkich krzywych klasy na rozmaitości i przechodzących przez punkt określamy relację równoważności taką, że dwie krzywe i są w relacji o ile wektory styczne w zerze do krzywych oraz (obie krzywe leżą w ) są równe, czyli: