Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa), GL(n, R) – grupa wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia nad danym pierścieniem z mnożeniem macierzy jako działaniem określonym w grupie.
Definicja formalna Pełną grupą liniową nazywamy uporządkowaną czwórkę gdzie:
jest pierścieniem łącznym z jedynką, – zbiór macierzy kwadratowych wymiaru n, odwracalnych, działaniem grupowym jest mnożenie macierzy, operacją brania elementu odwrotnego jest odwracanie macierzy elementem neutralnym jest macierz jednostkowa.
Dowolną podgrupę pełnej grupy liniowej nazywa się po prostu grupą liniową. Z punktu widzenia teorii kategorii operator jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup.
Przestrzenie liniowe Jeżeli jest przestrzenią liniową nad ciałem wówczas pełną grupą liniową przestrzeni liniowej oznaczaną przez lub nazywamy grupę wszystkich automorfizmów tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych ze składaniem funkcji jako działaniem grupowym.
Jeżeli przestrzeń ma skończony wymiar to oraz są izomorficzne.