Jednakże izomorfizm nie jest kanoniczny, gdyż zależy od wyboru bazy w Jeżeli jest bazą uporządkowaną zaś automorfizmem to mamy
dla pewnych stałych Macierz odpowiadająca składa się po prostu z wyrazów
Podobnie grupa pierścienia może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego -modułu o randze
Wyznaczniki Macierz jest odwracalna nad ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Stąd może być zdefiniowana jako grupa macierzy o niezerowym wyznaczniku.
Definicja dla pierścienia przemiennego jest nieco subtelniejsza: macierz nad jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest elementem odwracalnym w tzn. jej wyznacznik jest odwracalny w Stąd może być zdefiniowana jako grupa macierzy o wyznacznikach będących elementami odwracalnymi.
Rozważanie wyznaczników nad pierścieniem nieprzemiennym nie ma sensu. W tym przypadku grupa może być zdefiniowana jako grupa elementów odwracalnych
Specjalna grupa liniowa SL(n, R) Specjalną grupą liniową stopnia nad ciałem nazywamy grupę liniową zawierającą wszystkie macierze kwadratowe stopnia o elementach z ciała których wyznacznik jest równy jednościAffine Algebraic Geometry, Example 2.3..