Reguła łańcuchowa – reguła pozwalająca obliczać pochodne funkcji złożonych, oparta na twierdzeniu o pochodnej funkcji złożonej.
Twierdzenie dla funkcji jednej zmiennej
Niech będą funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. Jeżeli: ma w punkcie pochodną oraz ma w punkcie pochodną
to funkcja złożona ma w punkcie pochodną równą
Innymi słowy:
Złożenie wielu funkcji Jeśli funkcja jest zdefiniowana jako
to jej pochodna ma następującą postać:
Notacja Leibniza W notacji Leibniza reguła łańcuchowa jest łatwa do zapamiętania, bo przypomina działania na zwykłych ułamkach. Jeżeli to wprowadzając pomocniczą zmienną na oznaczenie mamy i wówczas:
Przykłady Przykład 1
Pochodne obliczamy od zewnątrz: pochodną „cosinusa” jest „minus sinus” i stąd czynnik jednak argument cosinusa jest funkcją zatem wynik cząstkowy mnożymy przez pochodną tej funkcji, czyli
Przykład 2
Jak wyżej, pochodne obliczamy od zewnątrz, a tu funkcją jest „podnoszenie zmiennej do kwadratu”.