Jej pochodna to „dwa razy zmienna” i stąd Jednak zmienna znów jest funkcją i otrzymany wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną: Tę obliczamy tak: pochodną „sinusa” jest „cosinus” – stąd jednak i tu zmienna jest funkcją i także ten wynik cząstkowy należy pomnożyć przez jej pochodną
Powyższy przykład ilustruje jak wielokrotnie stosować regułę łańcuchową.
Przykład 3 Przykład specjalny, pochodna funkcji Zauważmy, że:
skąd
Twierdzenie dla funkcji dwóch zmiennych Niech będą funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Jeżeli: mają w punkcie pochodne cząstkowe, oraz ma w punkcie pochodne cząstkowe, gdzie to funkcja złożona ma w punkcie pochodne cząstkowe równe
Uogólnienia
Reguła łańcuchowa daje się uogólniać na wszystkie interesujące przypadki. Na przykład analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla funkcji określonych między przestrzeniami unormowanymi. W szczególności, gdy funkcje działają między przestrzeniami i dla pewnych naturalnych, to reguła łańcuchowa sprowadza się do mnożenia odpowiednich