Pełne sformułowanie i ścisły dowód tego twierdzenia podał najpóźniej Carl Friedrich Gauss, choć fakty wykorzystywane w dowodzie znał wcześniej Euklides. Nazwa pojawiła się najpóźniej w 1915 roku, kiedy użył jej Eric Temple Bell Jeff Miller, Fundamental theorem of arithmetic, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-08-05].. Krótkie sformułowanie w języku algebry abstrakcyjnej mówi, że pierścień liczb całkowitych ma jednoznaczność rozkładu – jest pierścieniem Gaussa.
Dowód Lemat I Każda liczba naturalna większa od 1 posiada przynajmniej jeden dzielnik będący liczbą pierwszą.
Dowód lematu I. Niech Ponieważ więc zbiór dzielników liczby większych od 1 jest niepusty. Niech będzie najmniejszym z nich. Gdyby nie było pierwsze, to istniałby jego dzielnik i byłby to zarazem dzielnik Przeczy to jednak określeniu jako najmniejszego dzielnika Ostatecznie jest pierwszym dzielnikiem
Lemat II Każda liczba naturalna większa od 1 daje się przedstawić jako skończony iloczyn samych liczb pierwszych.
Dowód lematu II. Indukcyjnie.