Twierdzenie jest prawdziwe dla
Niech będzie dowolną liczbą naturalną >2 i niech twierdzenie będzie prawdziwe dla wszystkich
Jeśli jest pierwsze, to twierdzenie zachodzi.
Jeśli jest złożone, to Wówczas jednak oraz . Na mocy założenia indukcyjnego każde z i jest skończonym iloczynem liczb pierwszych, stąd także jest takim iloczynem.
Lemat III Jeżeli jest liczbą całkowitą, a liczbą pierwszą, to albo jest podzielne przez albo i są względnie pierwsze
Dowód lematu III. Liczba jako liczba pierwsza, posiada tylko dwa dzielniki naturalne: i Zatem albo albo W pierwszym wypadku i są względnie pierwsze, w drugim dzieli
Z tego lematu bezpośrednio wynika inne twierdzenie:
Jeżeli i są liczbami pierwszymi, to albo albo
Dowód twierdzenia Niech będzie liczbą naturalną większą od jednego. Na mocy lematu II da się rozłożyć na czynniki pierwsze. Niech
Gdyby żadna z liczb nie była równa to, ze względu na lemat III wszystkie byłyby pierwsze względem Liczba byłaby zatem iloczynem samych liczb pierwszych względem więc sama byłaby pierwsza względem co jest niemożliwe, gdyż dzieli w związku z pierwszym z wypisanych rozwinięć.