Wynika z tego fakt, iż wśród liczb znajduje się liczba Analogicznie można udowodnić, że wśród liczb znajduje się każda liczba ze zbioru i na odwrót.
Zbiory liczb i są zatem identyczne i jeżeli uporządkujemy je na przykład rosnąco, to będziemy mieli
przy czym Na koniec wystarczy udowodnić, że dla każdego Otóż niech na przykład Wtedy Zatem:
Dzieląc obydwie strony równości przez otrzymujemy:
Prawa strona zawiera czynnik więc jest przez niego podzielna, lewa strona z kolei, jako iloczyn liczb pierwszych różnych od jest względnie pierwsza z co jest sprzecznością. Niemożliwe jest zatem, by W ten sam sposób można udowodnić, że niemożliwe jest również jak również dla każdego
Ciągi i są równe, jak również ciągi i co znaczy, że obydwa rozkłady są identyczne, co było do pokazania.
Uogólnienia Własność tę posiadają także pierścienie wielomianów – tam rolę elementów pierwszych odgrywają wielomiany nierozkładalne. Dla pierścienia jedynymi takimi wielomianami są wielomiany stopnia pierwszego – jest to treść zasadniczego twierdzenia algebry.
Twierdzenie o jednoznaczności rozkładu jest podstawą wielu metod matematyki i kryptografii.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Timothy Gowers, Proving the fundamental theorem of arithmetic, gowers.wordpress.com, 18 listopada 2011 (Dowód zasadniczego twierdzenia arytmetyki), [dostęp 2021-02-24].
Kategoria:Twierdzenia o liczbach pierwszych Kategoria:Teoria podzielności