W ten sposób przedłużymy analitycznie funkcję Riemanna.
Niech będzie konturem równym od do następnie dodatnio określonym fragmentem kwadratu a potem od do Całkowana funkcja ma pomiędzy konturami a bieguny w punktach Residua w punktach i to w sumie
Dlatego z twierdzenia o residuach, mamy
Biorąc i wiedząc, że funkcja jest ograniczona oraz wnioskujemy, że całka po konturze dąży do 0. Dlatego
Upraszczając, otrzymamy równanie funkcyjne.
Dowód trzeci (3.) Jeśli to, całkując przez podstawienie,
Stąd, dla zachodzi
gdzie, podobnie jak w poprzednim dowodzie, w ostatniej równości skorzystaliśmy z twierdzenia o całkowaniu wyraz po wyrazie, ponieważ występujący szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny (stąd silniejsze założenie o części rzeczywistej ). Oznaczmy
Wówczas
Korzystając ze wzoru sumacyjnego Poissona, otrzymamy
a stąd
Dlatego
Powyższe wyrażenie jest równe
co z kolei równa się
Zatem
gdzie całka jest zbieżna dla wszystkich zespolonych, więc wyrażenie po lewej można przedłużyć analitycznie.