Ponadto, prawa strona nie zmienia wartości po zastąpieniu przez Dlatego
Po uproszczeniu otrzymamy równanie funkcyjne.
Związki z funkcjami arytmetycznymi
Na półpłaszczyźnie funkcja dzeta jest wyrażona przez iloczyn Eulera
gdzie oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych.
Ponadto, dla prawdziwe są tożsamości
oraz
gdzie to funkcja Möbiusa,
gdzie to funkcja Liouville’a,
Wszystkie powyższe iloczyny można otrzymać przez zwykłe przekształcenia algebraiczne na produkcie Eulera funkcji a szeregi po prawej – przez wymnażanie czynników.
Prawdziwe są również wzory
gdzie oznacza liczbę dodatnich dzielników, a także ogólniej
dla gdzie oznacza liczbę sposobów na przedstawienie liczby całkowitej dodatniej jako iloczyn czynników całkowitych dodatnich.
gdzie to funkcja pierwsza omega, czyli liczba dzielników pierwszych. Ponadto
przy czym wszystkie powyższe wzory są prawdziwe na obszarze zbieżności szeregów, czyli .