Mówiąc dokładniej, nietrywialne miejsca zerowe funkcji zeta występują we wzorach opisujących chociażby funkcję liczącą liczby pierwsze czy funkcję Czebyszewa.
Znając wzór
i oznaczając drugą funkcję Czebyszewa jako oraz dla całkowitych i dla wszystkich pozostałych, możemy skorzystać ze wzoru Perrona by uzyskać
Stąd otrzymujemy wzór explicite
gdzie i oznaczają odpowiednio sumy po wszystkich nietrywialnych i trywialnych miejscach zerowych funkcji Widzimy, że
ZatemTao T., 254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative number theory, What’s new, 10 grudnia 2014 [dostęp 2023-12-12] (ang.).
Niech będzie funkcją liczącą liczby pierwsze. Równoważnie, jeśli oznaczymy przez dla pierwszych oraz dla pozostałych sumując po częściach, otrzymamy
gdzie oznacza logarytm całkowy.
Z powyższych możemy wnioskować, że udowodnienie, że nie ma żadnych zer na prostej jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych, a hipoteza Riemanna jest równoważna z błędem w szacowaniu rzędu
Miejsca zerowe mały|300px|Moduły funkcji Z Riemanna-Siegela (linia przerywana) oraz funkcji zeta Riemanna (linia ciągła) na prostej krytycznej