Równanie funkcyjne mówi, że funkcja dzeta przyjmuje wartość równą 0 dla wszystkich ujemnych liczb parzystych, czyli Są to tzw. zera trywialne. Są trywialne w takim sensie, że łatwo jest udowodnić ich występowanie, ponieważ są one miejscami, w których sinus przyjmuje wartość 0. O wiele większe znaczenie mają zera nietrywialne, czyli wszystkie miejsca zerowe niebędące zerami trywialnymi.
Wiadomo, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe muszą leżeć na pasie krytycznym, zdefiniowanym jako Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie nietrywialne miejsca zerowe leżą na prostej krytycznej
Niech oznacza liczbę miejsc zerowych funkcji Riemanna postaci przy W 1921 Hardy i Littlewood udowodnili, że nieskończenie wiele nietrywialnych zer leży na prostej krytycznej, a dokładniej mówiąc wykazali, że dla każdego istnieje stała taka, że
dla wszystkich
Współcześnie wiadomo, że
dla Ponadto, jeśli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to
W 1989 Conrey udowodnił, że przynajmniej z nich musi leżeć na tej prostej.
Niektóre wartości Wartości funkcji dzeta dla niektórych argumentów całkowitych:
Ogólnie, dla