Monoid (z gr. μονοειδές od μόνος monos „jedyny” i εἶδος eîdos „wygląd, postać, kształt”) – półgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie monoid to algebra sygnatury gdzie jest niepustym zbiorem, natomiast
jest działaniem dwuargumentowym, spełniającym warunki: ( jest elementem neutralnym), (działanie jest łączne).
Szczególny przypadek monoidu stanowi grupa. Wynika stąd następujące zawieranie: klasa półgrup klasa monoidów klasa grup.
Każdy monoid jest izomorficzny z półgrupą wszystkich endomorfizmów pewnej algebry Jest to uogólnienie twierdzenia Cayleya.
Przykłady Liczby naturalne (koniecznie z zerem) z działaniem dodawania: elementem neutralnym jest w tym przypadku zero.
Liczby naturalne (z zerem bądź bez) z działaniem mnożenia: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).
Przedziały dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego (posetu) tworzą monoid z działaniem przekroju zbiorów. Elementem neutralnym jest tutaj cały rozważany poset.
Każdej półgrupie można przyporządkować jej monoid w następujący sposób:
Jeśli ma element neutralny to monoidem tym jest
Jeśli nie ma elementu neutralnego, to monoidem tym jest dla pewnego przy czym: dla wszystkich zachodzi dla każdego spełniona jest równość