Monoid (z gr. μονοειδές od μόνος monos „jedyny” i εἶδος eîdos „wygląd, postać, kształt”) – półgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie monoid to algebra sygnatury gdzie jest niepustym zbiorem, natomiast
jest działaniem dwuargumentowym, spełniającym warunki: ( jest elementem neutralnym), (działanie jest łączne).
Szczególny przypadek monoidu stanowi grupa. Wynika stąd następujące zawieranie: klasa półgrup klasa monoidów klasa grup.
Każdy monoid jest izomorficzny z półgrupą wszystkich endomorfizmów pewnej algebry Jest to uogólnienie twierdzenia Cayleya.
Przykłady Liczby naturalne (koniecznie z zerem) z działaniem dodawania: elementem neutralnym jest w tym przypadku zero.
Liczby naturalne (z zerem bądź bez) z działaniem mnożenia: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).
Przedziały dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego (posetu) tworzą monoid z działaniem przekroju zbiorów. Elementem neutralnym jest tutaj cały rozważany poset.
Każdej półgrupie można przyporządkować jej monoid w następujący sposób:
Jeśli ma element neutralny to monoidem tym jest
Jeśli nie ma elementu neutralnego, to monoidem tym jest dla pewnego przy czym: dla wszystkich zachodzi dla każdego spełniona jest równość
Monoid wolnyMilne, op. cit., s. 31.. – zbiór słów nad alfabetem z jako słowem pustym i jako operacją konkatenacji. Jeśli to słowami są na przykład: a przykładami konkatenacji są:
Własność uniwersalności monoidu wolnegoMilne, op. cit., s. 32.. Po utożsamieniu elementów zbioru ze słowami jednoelementowymi można uznać za podzbiór monoidu wolnego thumb|200px|Uniwersalność monoidu wolnego
przy czym podzbiór ten generuje i odwzorowanie
ma następującą własność uniwersalności: dla dowolnego odwzorowania zbioru w monoid
istnieje jedyny taki homomorfizm
dla którego następujący diagram jest przemienny.
Zbiór wszystkich odwzorowań dowolnego zbioru w zbiór wraz z działaniem składania odwzorowań tworzy monoid. Jedynką jest w nim odwzorowanie identycznościowe na Półgrupę tę nazywa się często pełną półgrupą przekształceń lub półgrupą symetryczną.
Jeśli jest monoidem, jest półgrupą, a jest homomorfizmem na to jest monoidemСкорняков, op. cit., s. 60..
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne
Monoid , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
Kategoria:Teoria półgrup Kategoria:Struktury z jednym działaniem