W dalszej części artykułu będzie wynikało z kontekstu, o który zapis chodzi – nie powinno to prowadzić do nieporozumień.
Jeśli jest zbiorem, to jest najmniejszym elementem klasy .
a zatem jest liczbą kardynalną, gdyż żadna liczba porządkowa nie jest równoliczna z .
Uwaga: Powyższa definicja mocy zbioru wymaga aksjomatu wyboru – niepustość klasy gwarantuje twierdzenie Zermela o dobrym uporządkowaniu oraz fakt, iż każdy zbiór dobrze uporządkowany jest porządkowo izomorficzny z pewną liczbą porządkową. Bez aksjomatu wyboru powyższą definicję można stosować jedynie do zbiorów dobrze uporządkowanych.
Hierarchia liczb kardynalnych
Mówi się, że zbiór jest mocy nie większej niż zbiór , gdy istnieje funkcja różnowartościowa określona na o wartościach w . Zdanie to można zapisać krótko . Przy tym, .
Okazuje się, że możliwość porównywania mocy dowolnych zbiorów jest równoważna aksjomatowi wyboru, to znaczy następujące zdanie (tzw. prawo dychotomii) jest z nim równoważne: Dla dowolnych zbiorów i prawdziwa jest alternatywa lub .
Po odkryciu faktu, iż zbiór liczb rzeczywistych jest większej mocy od zbioru liczb naturalnych, Cantor sfomułował przypuszczenie, że nie istnieje taki podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, że .