Najlepsze wyniki osiągnął w sezonie 1994/1995, kiedy to zajął trzecie miejsce w klasyfikacji generalnej, przegrywając tylko z Alberto Tombą i Austriakiem Güntherem Maderem. W tym samym sezonie był też drugi w klasyfikacji giganta i trzeci w klasyfikacji slalomu. Wśród slalomistów był też drugi za Norwegiem Lasse Kjusem w sezonie 1998/1999 i trzeci za Tombą i Austriakiem Thomasem Stangassingerem w sezonie 1993/1994.
Największy sukces osiągnął w 1994 roku, kiedy podczas igrzysk olimpijskich w Lillehammer wywalczył brązowy medal w slalomie. Po pierwszym przejeździe zajmował ósmą pozycję, tracąc do prowadzącego Stangassingera 1,55 sekundy. W drugim przejeździe osiągnął trzeci wynik i awansował na najniższy stopnień podium. Ostatecznie do Stangassingera, który zajął pierwsze miejsce Słoweniec stracił 0,51 sekundy, a do drugiego na podium Tomby stracił 0,36 sekundy. Był to pierwszy w historii medal olimpijski dla Słowenii w tej konkurencji w rywalizacji mężczyzn (na tych samych igrzyskach brązowe medale wywalczyły Katja Koren w slalomie i Alenka Dovžan w kombinacji). Był to jednocześnie jedyny medal wywalczony przez Košira na międzynarodowej imprezie tej rangi. Był też między innymi piąty w gigancie na igrzyskach olimpijskich w Nagano w 1998 roku i ósmy w slalomie podczas rozgrywanych cztery lata później igrzysk w Salt Lake City.