Każda funkcja ciągła określona na zbiorze zwartym jest jednostajnie ciągła (zob. twierdzenie Diniego), więc istnieje liczba taka, że
dla Gdy oraz to
co kończy dowód.
Wersja ogólna Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną oraz będzie przestrzenią metryczną. Ogólną wersję twierdzenia Arzeli-Ascolego można sformułować w postaci warunku koniecznego i wystarczającego na to by podzbiór przestrzeni był zwarty w sensie topologii zwarto-otwartej: Rodzina jest zwarta w sensie topologii zwarto-otwartej wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednakowo ciągła, punktowo relatywnie zwarta i domknięta.
Twierdzenie to jest rzeczywiście uogólnieniem wersji klasycznej twierdzenia Arzeli-Ascolego ponieważ w przypadku, gdy jest przestrzenią zwartą, a przestrzenią metryczną (lub ogólniej przestrzenią jednostajną), to topologia zwarto-otwarta pokrywa się topologią zbieżności jednostajnej w