Przestrzeń pseudometryczna – zbiór, w którym wprowadzono uogólnioną funkcję odległości (pseudometrykę), od przestrzeni metrycznej odróżnia ją to, że odległość między różnymi punktami może być równa zero.
Przestrzenie pseudometryczne znajdują zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.
Definicja Niech będzie dowolnym niepustym zbiorem z określoną na nim funkcją dwuargumentową zwaną pseudometryką, spełniającą dla każdego warunki:
zerowa odległość
symetria
nierówność trójkąta
Wówczas para uporządkowana nazywana jest przestrzenią pseudometryczną.
Uwagi:
(1) Z definicji wynika, że dla różnych punktów przestrzeni odległość może być równa zero, co różni pseudometrykę od metryki, w której odległość między dwoma różnymi punktami zawsze jest dodatnia.
(2) Definicja metryki różni się pierwszym aksjomatem, pozostałe dwa są identyczne. Zamiast warunku przyjmuje się aksjomat identyczności przedmiotów nierozróżnialnych z którego wynika dodatnia odległość między każdymi dwoma różnymi punktami.
Pseudometryka w przestrzeni funkcyjnej W przestrzeni funkcji z wyróżnionym punktem można zdefiniować pseudometrykę wzorem:
Np.