Zdarza się jednak, że wprowadzenie analogicznej definicji pewnego pojęcia dla funkcji zespolonych, jak dla rzeczywistych, niesie ze sobą daleko idące konsekwencje. Na przykład: jeśli jest obszarem oraz funkcja ma w tym obszarze ciągłą pochodną (jest klasy ), to ma w tym obszarze wszystkie pochodne (jest klasy ). Dla funkcji zespolonych łatwiej podać, niż w przypadku funkcji rzeczywistych (piła Weierstrassa), przykład funkcji wszędzie ciągłej i nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie: funkcja sprzężenia jest ciągła w każdym punkcie i nieróżniczkowalna w żadnym z nich.
Ważnymi pojęciami analizy zespolonej są także: Funkcje jedno- i wielokrotne Szereg Laurenta
Twierdzenia
Warunki Cauchy-Riemanna Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego Wzór całkowy Cauchy'ego
Rozwój
Formalnie funkcjami zmiennych zespolonych są działania arytmetyczne na nich, rozważane od czasu pojawienia się tej koncepcji w XVI wieku. Przez to na dziedzinę zespoloną można uogólnić wielomiany, funkcje wymierne, pierwiastki stopnia wymiernego, inne pierwiastniki oraz pozostałe funkcje algebraiczne. Za pomocą szeregów Taylora można tak uogólnić też część innych, przestępnych funkcji elementarnych jak te wykładnicze, hiperboliczne, logarytmy, funkcje trygonometryczne czy kołowe.