Podstawowe fakty Dalej, oznaczają ustalone przestrzenie Banacha. Każdy operator zwarty jest ograniczony (z uwagi na całkowitą ograniczoność obrazu kuli jednostkowej dziedziny operatora), a więc ciągły. Z lematu Riesza wynika, że operator identycznościowy na jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń jest skończenie wymiarowa. Operator zwarty ma domknięty obraz wtedy i tylko wtedy gdy obraz ten jest skończenie wymiarowy. Rzeczywiście, każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest domknięta, więc jeżeli operator ma skończenie wymiarowy obraz, to obraz ten jest domknięty. W przeciwną stronę, jeżeli jest operatorem zwartym i obraz jest domknięty, to jest on skończenie wymiarowy. Istotnie, domkniętość obrazu implikuje, że on sam jest przestrzenią Banacha. Z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, operator jest otwarty.