Zakładając, że obraz jest ponadto nieskończenie wymiarowy, otwartość prowadzi to do sprzeczności ze zwartością, ponieważ obraz kuli jednostkowej w poprzez nie może być wówczas warunkowo zwarty w (a więc i także w ). Obraz każdego operatora zwartego jest ośrodkowy. Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym: operator liniowy jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony jest zwarty. Widmo operatora zwartego na zespolonej przestrzeni Banacha jest co najwyżej przeliczalne i jego jedynym punktem skupienia może być 0. Ponadto dla operatorów zwartych zachodzi alternatywa Fredholma.
Opis operatorów zwartych poprzez ciągi zbieżne do zera Dla danego operatora liniowego między przestrzeniami Banacha następujące warunki są równoważne 1. operator jest zwarty, 2. istnieje taki ciąg zbieżny do 0 w że dla wszelkich zachodzi nierówność
3. istnieje zbieżny do zera ciąg liczb rzeczywistych oraz taki ograniczony ciąg w że dla wszelkich zachodzi nierówność
4. istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni c0, zwarty operator liniowy oraz ograniczony operator liniowy że . Równoważność warunków 1. i 2. została udowodniona w 1971 przez TerzioğluT. Terzioğlu, A characterization of compact linear mappings, Arch. Math. 22 (1971), 76–78.. Randke wykazał, że warunki 1. i 3. są równoważneD.