Niech będzie gładką rozmaitością różniczkową i niech będzie polem wektorowym na . Ponieważ dla jest już wektorem stycznym z to w związku z tym, co zostało powiedziane w poprzednim podrozdziale można uważać za funkcjonał różniczkowy. Wynika z tego, że pole wektorowe na przyporządkowuje funkcji funkcję daną wzorem
Na rozmaitościach gładkich można pola wektorowe, podobnie jak przestrzeń styczną, zdefiniować czysto algebraicznie jako różniczkowania: dla pola wektorowego funkcja dana wzorem
jest różniczkowaniem algebry tzn. dla dowolnych spełnia
Odwrotnie: jeżeli jest liniowym różniczkowaniem algebry to
dla pewnego pola wektorowego na
Rozmaitości Riemannowskie
Tensorem metrycznym na rozmaitości różniczkowej nazywamy dwukrotnie kowariantne pole tensorowe takie, że jest iloczynem skalarnym tzn. dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową. Parę: rozmaitość różniczkową wraz ze zdefiniowanym na niej tensorem metrycznym nazywamy rozmaitością riemannowską.
W mapie możemy lokalnie przedstawić na -wymiarowej rozmaitości różniczkowej w postaci